微分学中心定理——中值定理

拉格朗日中值定理：

拉格朗日中值定理说，假如一个函数f(x)在闭区间[a,b]上是一连的，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内最少存在一点ξ，使得

或

拉格朗日中值定理的意思就是：

毗连图像上两个点 A、B画一条线，要求画出的线每个点都一连可导，那么你画出的这条线中最少会有一个点处的切线是与毗连 A、B的直线平行的。

我们可以用一个直观的例子分析这此中值定理的意思：

有一辆汽车增速行驶，用8秒时间将距离从0推进到200米，很容易算出这8秒钟内汽车的均匀速率为25米/秒，那么在这8秒内一定有某一时候汽车的速率恰好是25米/秒。

底下，柯西表现有话要说：

柯西中值定理：

柯西中值定理说，假如函数f(x)和F(x)在闭区间[a,b]上是一连的，在开区间(a,b)内可导，并且对任一x∈(a,b)有F'(x)≠0，那么在(a,b)内最少存在一点ξ，使得

如此写约莫不佳了解，但是我们厘革一下各位看是不是就很熟习了：

这不就是刚刚拉格朗日中值定理的别墅二层小楼情势么，以是这里就不外多表明

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推行，是微分学的基本定理之一。其几多意义为，用参数方程表现的曲线上最少有一点，它的切线平行于两头点地点的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达情势。

柯西中值定理大略地标明，关于两个端点之间的给定平面弧，最少有一个点，弧的切线经过其端点平行于切线。

与拉氏定理的接洽

在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论情势和拉格朗日中值定理的结论情势相反。

因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推行。

证实：

几多意义

若令u=f(x) , v=g(x)，这个情势可了解为参数方程，而f(b)-f(a)/g(b)-g(a)则是毗连参数曲线两头点弦的斜率，f'(ξ)/g'(ξ)表现曲线上某点处切线的斜率，在定理的条件下，结论可了解如下：

用参数方程表现的曲线上最少有一点，在这一点处的切线平行于毗连两个端点的弦。

使用例子

1.泰勒公式

柯西中值定理最主要的使用是证实带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式，只需反复使用柯西中值定理多次就能证实，底下以n=1为例分析。

例 1

设f(x)在(a,b)内二次可微，证实：随意的x , x0∈(a,b)，在x , x0之间存在ξ，使

这就是函数f(x)在点x0邻域内的一阶泰勒公式。

证实：令

G(x)=(x-x0)2使用

在两次使用到柯西中值定理后可以取得：

命题得证。

2.洛必达端正

柯西中值定理的一个最紧张的使用就是可以推导盘算待定型的极限最好效的办法——洛必达端正。

洛必达端正是求两个无量小量或两个无量多量的比的极限。在满意一定条件下可以化成两个函数的导数的比值极限，如此就有约莫使得原待定型变成笨重而好效的求非待定型极限的成绩。

我们得出底下这个定理（洛必达端正）：

⑴ 两个函数f(x)和g(x)在开区间(a,b)可微，并且在这个开区间上，g(x)的导数不即是0；

⑵ 存在极限

此中A为一个仅限的常数。则在以下情况下：

大概

那么就有：

在区间的另一个端点也存在相相似的后果。这个定理就称之为洛必达端正，能好效地使用于待定型的极限盘算。

3.不等式

柯西中值定理在不等式的证实也有广泛使用，紧张是f(x)和g(x)要选得得当。

例2

试证实当x>0时，1+x ln(x+√1+x2)>√1+x2。

证实：设

则f(t)和g(t)在区间[0,x]上满意柯西中值定理条件，以是存在ξ∈(0,x)，使

即

结论得证。

4.中值点

中值点的存在性的证实是柯西中值定理最典范的使用之一。

例3

设a>0，函数f(x)在区间[a,b]上一连，在(a,b)内可导，则存在ξ∈(a,b)，使得

证实：设F(x)=f(x)/x，G(x)=1/x，显然F(x),G(x)在[a,b]上满意柯西中值定理的条件，于是存在ξ∈(a,b)，使得

即存在ξ∈(a,b)，使得

即可得结论。

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