高中数学：等差数列求和公式 求和的七种办法，你都市了吗？

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文章泉源：高中数学

等差数列是稀有数列的一种，可以用AP表现，假如一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差即是同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表现。

等差数列求和公式

1.公式法

2.错位相减法

3.求和公式

4.分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列得当拆开，可分为几个等差、等比或稀有的数列，然后分散求和，再将其兼并即可.

5.裂项相消法

实用于分式情势的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的情势，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消正中的很多项。

【小结】此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，此中正中的大局部项都互相抵消了。只剩下仅限的几项。
注意：余下的项具有如下的特点1、余下的项前后的地点前后是对称的。2、余下的项前后的正负性是相反的。

6.数学总结法

寻常地，证实一个与正整数n有关的命题，有如下步调：（1）证实当n取第一个值时命题建立；（2）假定当n=k（k≥n的第一个值，k为天然数）时命题建立，证实当n=k+1时命题也建立。

【例】求证：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

证实：当n=1时，有：1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假定命题在n=k时建立，

于是：1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

则当n=k+1时有：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1时原等式仍旧建立，总结得证

7.并项求和法

（常接纳先尝试后求和的办法）【例】1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n

办法一：（并项）求出奇数项和偶数项的和，再相减。

办法二：（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

办法三：布局新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。an=n(-1)^（n+1）

等差数列推断及其实质

等差数列的推断
（1）a(n+1)--a(n)=d (d为常数、n ∈N*）[或a（n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。
（2）2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。
（3）a(n)=kn+b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。
（4）S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B为常数，A不为0，n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列。

特别实质
在有穷等差数列中，与首末两项距离相称的两项和相称。并且即是首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还即是正中项的2倍,即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中

【例】数列：1，3，5，7，9，11中

a(1)+a(6)=12 ;

a(2)+a(5)=12 ;

a(3)+a(4)=12 ;

即，在有穷等差数列中，与首末两项距离相称的两项和相称。并且即是首末两项之和。

数列：1，3，5，7，9中

a(1)+a(5)=10 ;

a(2)+a(4)=10 ;

a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ;

即，若项数为奇数，和即是正中项的2倍，另见，等差中项。

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