拓扑台球(台球几何：看似简单实则复杂的数学世界)

台球几多：看似简便实则繁复的数学天下

看似简便的台球活动，眼前却隐蔽着繁复的数学奥妙。本文探究了不同外形台球桌上的台球活动轨迹，从简便的矩形到繁复的三角形，先容了数学家们为破解这些谜题所做的积极和取得的历程。

迪士尼1959年的影戏《唐老鸭数学奇幻之旅》中，唐老鸭受教学员对台球几多形貌的启示，充溢活力地击打球杆，将球送入球桌周围弹射，最初才击中目标球。唐老鸭问道：“你以为这跟数学有关吗？”

由于矩形台球桌的四周墙呈直角相交，像唐老鸭如此的台球轨迹是可以猜测和了解的，即使在实践中很难完成。但是，研讨数学家仍旧无法回复其他多边形(具有平展面的外形)台球桌上的基本轨迹成绩。即使是最简便的多边形——三角形，也仍旧存在着谜团。

球对否总能击中一个点，使其以相反的朝向前往到起始点，从而创建一个所谓的周期轨道？没有人晓得。关于其他更繁复的外形，从桌子的任何一点击球到桌子的任何其他一点对否约莫，这也是未知的。

只管这些成绩仿佛与高中几多教学的内容严密干系，但试图处理它们必要天下上最出色的数学家引入来自散伙动力体系、拓扑学和微分几多么不同范畴的头脑。与任何宏大的数学成绩一样，处理这些成绩的事情创造了新的数学，并反过去推进了这些其他范畴的知识提高。但是，只管奉献了一切积极，以及古代盘算机带来的洞察力，这些看似简便的問題仍旧坚强地反抗处理。

以下是一些数学家自唐老鸭史诗般纠结的射门以来对台球的了解。

他们通常假定他们的台球是一个无穷小的无维点，并且它以完善的对称性从墙壁上反弹，分开时与抵达时的角度相反，如下所示。

假如没有摩擦，球会无穷期地挪动，除非它抵达一个角落，这会像球袋一样中止球。台球云云难以用数学分析的缘故是，两个几乎相反的球落在角落的两侧约莫会有完全不同的轨迹。

分析多边形台球的一个紧张办法不是将球想象成从桌边弹射，而是想象每次球撞到墙上，它都市持续进入一个翻转边沿的新抄本桌子，产生镜像。这个历程(见下文)称为台球途径的掀开，使球可以以直线轨迹持续。经过将想象的桌子折叠回其邻人上，您可以规复球的实践轨迹。这种数学本事可以证实一些轨迹，不然很丢脸到。

比如，它可以用来展现为什么简便的矩形桌子经过每个点具有无量多个周期轨迹。相似的论证实用于任何矩形，但为了具体分析，想象一张宽是长两倍的桌子。

假定您想找到一个周期轨道，该轨道在长朝向上穿过 n 次桌子，在短朝向上穿过 m 次。由于矩形的每个镜像都对应于球从墙上反弹，因此为了使球以相反的朝向前往到其起始点，其轨迹必需在两个朝向上都穿过偶数次。因此，m 和 n 必需是偶数。安插一个由相反矩形构成的网格，每个矩形都被视为其邻人的镜像。从原始桌子上的一个点到长朝向上 n 个桌子，短朝向上 m 个桌子远处的抄本上的相反点绘制一条线段。假如途径穿过角落，请略微调停原始点。这里是一个示例，此中 n = 2 和 m = 6。折叠后，该途径产生一个周期轨迹，如绿色矩形所示。

三角形不等式

三角形台球没有矩形的直角几多那么好，以是它更繁复。正如您约莫从高中几多中记取的，有几种三角形：锐角三角形，一切三个内角都小于 90 度；直角三角形，有一个 90 度角；钝角三角形，有一个角大于 90 度。

外形像锐角和直角三角形的台球桌具有周期轨迹。但没有人晓得钝角三角形对否也一样。

要找到锐角三角形中的周期轨迹，请从每个极点向相对侧绘制一条垂直线，如下左侧所示。将直角产生的场合的点毗连起来构成一个三角形，如下右侧所示。

这个内切三角形是一个周期台球轨迹，称为法格纳诺轨道，以乔瓦尼·法格纳诺定名，他在 1775 年证实白这个三角形具有一切内切三角形中最小的周长。

在 1990 年代初，华盛顿大学的弗雷德·霍尔特和莫斯科国立大学的格雷戈里·加尔佩林及其互助者独立证实白每个直角三角形都具有周期轨道。一种简便的办法是将三角形绕一条腿反射，然后再绕另一条腿反射，如下所示。

从一个垂直于斜边(三角形最长边)的轨迹开头。斜边及其第二次反射是平行的，因此毗连它们的垂直线段对应于一个往返弹跳的轨迹：球以直角分开斜边，从两条腿反弹，以直角前往斜边，然后前往其路途。

但钝角三角形仍旧是一个谜。在他们 1992 年的论文中，加尔佩林及其互助者提出了一种在钝角三角形中反射的办法，可以创建周期轨道，但这些办法只实用于一些特别情况。然后，在 2008 年，布朗大学的理查德·施瓦茨证实白一切角度在 100 度或以下的钝角三角形都包含一个周期轨迹。他的办法是将成绩分析成多个案例，并使用传统数学和盘算机帮助验证每个案例。2018 年，阿尔伯塔大学的雅各布·加伯、博扬·马里诺夫、肯尼斯·摩尔和乔治·托卡尔斯基将这一阈值扩展到 112.3 度。(托卡尔斯基和马里诺夫花了十多年来追逐这个目标。)

拓扑转机

另一种办法已被用来证实，假如一切角度都是有理数，即可以表现为分数，那么具有更大角度的钝角三角形必需具有周期轨迹。该办法不是简便地在平面上复制多边形，而是将多边形的抄本映射到拓扑外表，即一个或多个洞的甜甜圈。

假如您将矩形沿其短边反射，然后将两个矩形沿其最长边反射，制造四个原始矩形的版本，然后将顶部和底部粘合在一同，将支配粘合在一同，您将取得一个甜甜圈或圆环，如下所示。桌子上的台球轨迹对应于圆环上的轨迹，反之亦然。

在 1986 年的一篇具有里程碑意义的文章中，霍华德·马苏尔使用这种武艺证实白一切具有有理角的多边形桌子都具有周期轨道。他的办法不仅实用于钝角三角形，也实用于更繁复的外形：不端正的 100 边桌子，或墙壁呈锯齿状的外形，只需角度是有理数，就存在周期轨道。

值得注意的是，多边形中存在一个周期轨道意味着存在无量多个周期轨道；略微改动轨迹将产生一系列干系的周期轨迹。

照明成绩

具有凹角和凸角的外形会引发一个干系成绩。与其问那些回到出发点??的轨迹，这个成绩问的是轨迹对否可以拜候给定桌子上的每个点。这被称为照明成绩，由于我们可以将其了解为想象一束激光从包抄台球桌的镜面墙上反射。我们要问的是，关于特定桌子上的两个点，对否可以一直将激光(抱负化为无穷细的光源)从一个点照射到另一个点。换句话说，假如我们在桌子的某个点安排一个灯胆，它会向各个朝向照射，它会照亮整个房间吗？

对这个成绩有两个主要的研讨朝向：找到无法照明的外形，并证实多量外形可以被照亮。固然可以经过奇妙使用简便的数学来找到无法照明的奇异外形，但证实很多外形可以被照亮仅有经过使用强壮的数学东西才成为约莫。

1958 年，厥后取得 2020 年诺贝尔物理学奖的数学家罗杰·彭罗斯发觉了一张曲面桌子，此中一个地区的任何点都无法照亮另一个地区的任何点。几十年来，没有人可以找到具有相反属性的多边形。但在 1995 年，托卡尔斯基使用三角形的简便内幕创建了一个 26 边的块状多边形，此中两点互相不成达，如下所示。也就是说，从一个点发射的激光束，无论其朝向怎样，都无法击中另一个点。

托卡尔斯基在构建他的特别桌子时使用的一个紧张头脑是，假如激光束从 45°-45°-90° 三角形的此中一个锐角开头，它永久不会前往到谁人角。

他的锯齿形桌子由 29 个如此的三角形构成，奇妙地使用了这一内幕。2019 年，事先照旧特拉维夫大学的研讨生阿米特·沃莱茨基使用了相反的武艺来天生一个 22 边的外形(如下所示)。现在尚不清晰对否存在更少的边数的外形。

证实另一个朝向的后果要困忧伤多。2014 年，斯坦福大学的数学家玛丽亚姆·米尔扎哈尼成为第一位取得菲尔兹奖(数学界最负盛名的奖项)的女性，由于她在黎曼曲面的模空间方面的事情，这是一种对马苏尔用来证实一切具有有理角的多边形桌子都具有周期轨迹的甜甜圈的归纳。2016 年，巴黎-萨克雷大学的塞缪尔·勒利埃弗、法国国度封建研讨中央的蒂埃里·蒙泰伊和特拉维夫大学的巴拉克·魏斯使用了米尔扎哈尼的很多后果，证实白有理多边形中的任何一点都照亮了除仅限多个点之外的一切点。约莫存在伶仃的暗点(如托卡尔斯基和沃莱茨基的例子所示)，但不存在像彭罗斯例子中那样具有弯曲壁而不是直壁的暗地区。在沃莱茨基 2019 年的文章中，他经过证实只存在仅限对不成照亮的点对，加强了这一后果。

遗憾的是，米尔扎哈尼于 2017 年年仅 40 岁时因癌症去世。她的事情仿佛与台球室里的花式击球相去甚远。但是，分析台球轨迹标明，即使是最笼统的数学也可以与我们生存的实际天下接洽起来。

本文译自 Quanta Magazine，由 超载鸡 编纂公布。