什么是二项分布？

什么是二项分布？

二项分布（Binomial distribution）

二项分布是一种具有广泛用处的散伙型随机变量的概率分布，它是由贝努里始创的，以是又叫贝努里分布。

二项分布是指统计变量中仅有实质不同的两项群体的概率分布。所谓两项群体是按两种不同实质区分的统计变量，是二项实验的后果。即各个变量都可归为两个不同实质中的一个，两个观察值是对峙的。因此两项分布又可说是两个对峙事变的概率分布。

二项分布的剖析

二项分布用标记b(x．n．p)，表现在n次实验中有x次告捷，告捷的概率为p。

二项分布的概率函数可写作：

式中x＝0、1、2、3．．．．．n为正整数

两项分布中含有两个参数n与p，当它们的值已知时，便可盘算出分布列中各概率的值。

例1 掷硬币实验。有10个硬币掷一次，或1个硬币掷十次。问五次正面向上的概率是几多?

解：依据题意n＝10，p＝q＝1/2，x＝5

以是五次正面向上的概率为0．24609

此题若问五次及五次以上正面向上的概率是几多?

解：此题要求出五次及五次以上正面向上的概率之和。正面有五次、六次、七次、八次、九次、十次。依公式5—9应为：

C105p5q10?5 + C106p6q10?4 + C107p7q3 + C108p8q2 + C109p9q1 + C1010p10q0

= 252/1024+210/1024+120/1024+45/1024+10/1024+1/1024

= 638/1024

= 0．623

五次及五次以上正面向上的概率为0．623

此题各项掀开式的系数，若用杨辉三角盘算也十分便利。读者：前方的杨辉三角写到(p + q)10。试比力五次及五次以—LK面向；的各项系数对否为252、210、120、45、10、1。

二项分布的实质

(一)二项分布是散伙型分布，概坦白方图是跃阶式的。由于x为不一连变量，用概率条图表现更切合，用直方图表现只是为了更外貌些。

1．当p＝q时图形是对称的

例2 (p + q)6，p=q＝1/2，各项的概率可写作：

p6 + 6p5q + 15p4q2 + 20p3q3 + 15p2q4 + 6plq5 + q6

= 1/64+6/64+15/64+20/64+15/64+6/64+1/64

= 1

2．当p≠q时，直方图呈偏态，p<q与p>q的偏斜朝向相反。假如n很大，即使p≠q，偏态渐渐低落，终极成正态分布，二项分布的极限分布为正态分布。故当n很大时，二项分布的概率可用正态分布的概率作为近似值。何谓n很大呢?平常划定：当p<q且np≥5，或p>q且nq≥5，这时的n就被以为很大，可以用正态分布的概率作为近似值了。

(二)二项分布的均匀数与标准差

假如二项散充满意p<q，np≥5，(或p>q，np≥5)时，二项分布接近正态分布。这时，也仅仅在这时，二项分布的x变量(即告捷的次数)具有如下实质：

μ = np (5—10a)

(5—10b)

即x变量具有μ = np ,

的正态分布。

式中n为独立实验的次数，

p为告捷事变的概率，q＝1- p。 由于n很大时二项分布迫近正态分布，其均匀数，标准差是依据实际推导而来的，故用μ和σ而不必X和S表现。它们的含义是指在二项实验中，告捷的次数的均匀数μ = np ，告捷次数的疏散程

。比如一个掷10枚硬币的实验，显现正面向上的均匀次数为5次(μ= np＝

)，正面向上的分布水平为10×（1/2）×（1/2）＝ 1．58(次)，这是依据实际的盘算，而在实践实验中，有的人可得10个正面向上，有人得9个、8个……，人数越多，正面向上的均匀数越接近5，疏散水平越接近1．58。

二项分布的使用条件

1．各察看单位只能具有互相对峙的一种后果，如阳性或阴性，活着或殒命等，属于两分类材料。

2．已知产生某一后果（阳性）的概率为π，其对峙后果的概率为1-π，实践事情中要求π是从多量察看中取得比力安定的数值。

3．n次实验在相反条件下举行，且各个察看单位的察看后果互相独立，即每个察看单位的察看后果不会影响到其他察看单位的后果。如要求疾病无影响性、无家属性等。

二项分布的使用

项分布在心思与教导研讨中，主要用于处理含天然遇实质的成绩。所谓机会成绩，即指在实行或观察中，实行后果约莫是由 ?推测而形成的。好比，选择标题标回复，划对划错，约莫完全由推测形成。凡此类成绩，欲区分由推测而形成的后果与真实的后果之间的界线，就要使用二项分布来处理。

例3有正误题10题，问答题者答对几题才干以为他是真会，大概说答对几题，才干以为不是出于推测要素?

此题p＝q=1/2，即猜对猜错的概率各为0．5。np≥5，故此二项分布接近正态分布：

依据正态分布概率，当Z=1.645时，该点以下包含了全体的95％。假如用原分数表现，则为

它的意义是，完全凭推测，10题中猜对8题以下的约莫性为95％，猜对8、9、10题的概率只5％。因此可以推论说，答对8题以上者不是凭推测，而是会答。但应该明白：作此结论，也仍旧有出错误的约莫，即那些完全凭推测的人也有5％的约莫性答对8、9、10道题。

此题的概率值，还可用二项分布函数直接盘算，亦得与正态分布近似的后果：

依据概率加法，答对8题及其以上的总概率为：45/1024+10/1024+1/1024＝56/1024 = 0．0547 同理，可盘算8题以下的概率为 95％。(近似)．

例4有10道多重选择题，每题有5个答案，此中仅有一个是准确的。问答对几题才干说不是猜的后果?

此题n＝10，p＝1/5 = 0．2，q = 0．8，np<5，故此题不接近正态分布，不克不及用正态分布盘算概率，而应直接用二项分布函数盘算猜时各题数的概率：

依据以上所盘算的猜对各题数的概率，可用概率加法求得猜对5题及5题以上的概率为0．03279，不敷5％，故可推论说答对5题以上者可算真会，作此结论仍有3．3％出错误的约莫。

若上例中题数增长到30题，则np>5，就可用正态分布的概率盘算：

因此可得结论，答对10题或10题以上，才干被以为是真会。作此结论出错误的概率为5％。

假如想使推论出错误的概率降为1％，则依据正态分布可求得此时的z＝2.33，使用相反的盘算办法，只将2.33代替1.645，可求得临界的分数(或答对的题数)。

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