悲伤的平行线会有相遇的一天吗？

伤心的平行线会有相遇的一天吗？

提起平行线，各位都不生疏——两段平行延伸的铁轨、好坏相间的斑马线，这都是生存中可以察看到的平行线，在文学作品中我们也会看到如此的形貌：“两一局部就像平行线一样，永久没有交集”。

在我们的印象中，平行线具有永不相交的实质。但有人却说：“平行线在无量远点交于一点”。

那平行线之间毕竟有没有交点？它们毕竟会不会在无量远点相遇呢？

图1 平行铁轨 图片泉源：百度百科

要弄明白这个成绩，我们必要先了解平行线永不相交这个说法是怎样来的。

平行线诞生于平面几多第五正理

古希腊数学家，几多学之父欧几里得在研讨几多学的时分，发觉了有些几多学知识属于颠末人类长时反复的实践标明准确，不必要由别的知识推出。于是欧几里得在《几多原本》中给出了五大正理[1]，并以此为基本构建了几多学体系。这五大正理为：

正理1：随意一点到别的随意一点可以画直线

正理2：一条仅限线段可以持续延伸

正理3：以随意点为心及随意的距离可以画圆

正理4：凡直角都互相相称

正理5：同平面内一条直线和别的两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这两条直线经无穷延伸后在这一侧相交。

在五大正理中，前四个看着都比力简便明白，第五正理则相对啰嗦。

厥后的研讨推导标明，第五正理与以下两个说法等价——一是，三角形的内角和为180度；二是，过直线外一点，有且仅有一条直线不与该直线相交。

而第二个说法中两条永久不相交的直线则被称作平行线。这便是平行线永不相交这一说法产生的缘故。也正由于第五正理与平行干系，该正理又被称为平行正理。

非欧几多VS平行正理

从平面几多第五正理提出以来，数学家们就开头思索一个成绩：这一正理可否被别的正理交换？

19世纪，高斯、巴切夫斯基、波尔约等人各自独立实验了使用不同的平行正理。终极依据过直线外一点能做几条直线与已知直线平行，构成了罗巴切夫斯基几多和黎曼几多两大新的几多体系。

由于这两大要系与欧几里得几多学不同，以是又被统称为“非欧几多”。

罗巴切夫斯基几多，简称为罗氏几多，以为过直线外一点最少能做出两条直线与已知直线平行。

图2 罗氏几多 图片泉源：百度图片

图2所示的双曲面外貌地展现了这一情况。在一个双曲面上，由于空间的弯曲，过直线外一点可以画出好几条与已知直线平行的直线。

由于这一几多刻画的是双曲面空间中的情况，以是也被称为“双曲几多”。

在如此的双曲空间中，过直线外的一点，可以做出多条直线与已知直线平行。别的，在双曲空间中随意做出一个三角形，三角形内角和小于平面几多中的内角和（180°）。

黎曼几多，则假定过直线外一点不存在与已知直线平行的直线。罗氏几多思索的是双曲面中的几多学，黎曼几多思索的则是椭圆空间中的几多学。

因此，黎曼几多也被称为“椭圆几多”。

图3 黎曼几多 图片泉源：百度图片

图3外貌地展现了黎曼几多的特点。在一个椭圆空间中，三角形内角和小于180度。并且由于椭圆空间中一切直线都颠末椭圆空间最顶端的无量远点，过直线外一点做不出已知直线的平行线。

这也是我们常说的“平行线交于无量远点”这一说法的泉源。

实践上，依照几多学的界说，当我们使用黎曼几多研讨成绩的时分，一切直线交于无量远点，也就不存在平行线的看法了，由于在数学的界说上，称为平行线，就必需是同一平面内永久不相交的直线。

从这个角度讲，“平行线交于无量远点”是一个数学上的伪命题，但却具有一定的艺术代价。

非欧几多有何使用代价？

平面几安在我们的实践生存中有着十分大的使用代价。小到机器制造，大到地域信息丈量，都离不开平面几多的盘算。这也是为什么我们从小到大学习的都是平面几多。

那非欧几多就是数学家们拍脑壳拍出来的吗？非欧几多有没有使用代价呢？

答案是一定的。

非欧几安在特定的空间、特定的成绩中具有很高的使用代价。

从上文中我们可以看到，非欧几多主要用来研讨双曲空间、椭圆空间这两种非平面空间中的几多学成绩。而非平面空间在我们的实践生存中也是广泛存在的。

非平面空间的显现，最稀有的有两种情况：

第一种情况是大质量天体招致的空间歪曲。

依据广义相对论的干系实际，在大质量天体四周，空间会产生较为分明的弯曲。在平常生存中我们会发觉，假如将一个重球放在支起来的布上，重球就会将布料压弯。

而在宇宙中，大质量天体就是产生欺压的重球，空间布局就是支起来的布料，最初就会像图4一样，在大质量天体的周围，产生一定的空间弯曲。

图4 大质量天体产生分明空间弯曲 图片泉源：百家号

在如此的弯曲空间中举行宇宙飞行时，平面几多的干系知识就不再实用，反而好坏欧几多有了用武之地。单个天体产生的空间弯曲接近椭圆面，而多个天体则约莫在交界地区产生接近于双曲面的弯曲空间。

假如人类有一天迈向宇宙的星斗大海，依据非欧几多盘算清晰弯曲空间中的几多干系，是完成宇宙飞行必不成少的武艺。

第二种非平面空间是活着平面本身存在易无视的曲率。

我们生存的地球，但是本身就是一个椭球面。当我们在太空中察看地球时，很容易发觉地球外表存在弯曲。这时分关于地球中几多干系，就可以经过空间平面平面几多举行分析。

但是假如我们只在大地上举行观察，无法取得太空中的视角，那地球外表这个二维空间中的几多干系，但是就切合椭圆几多的干系实质。

基于地球外表的这种特点，黎曼几多可以被用于地球外表的度量之中。经过基于黎曼几多的办法，关于地球外表的测地线举行研讨，“测地几多”这一门学科就创建起来了。

因此，在地球外表研讨地域信息、航空帆海等成绩时，非欧几多中的黎曼几多就有着很高的使用代价。

最初，回到我们最开头的成绩，平行线本身的数学界说就是没有交点的，平行线也不会在无量远点相遇。只是在黎曼几多中，两条看上去“平行”的直线会在无量远点相遇，但它们本性上不属于平行线。

固然平行线注定不会相遇，但是对平行线安静面几多第五正理的研讨，却产生了罗氏几多、黎曼几多么非欧几里得几多学，并在各方各面有着广泛的使用。数学研讨很多时分都是如此，看上去奇思妙想的“无用之举”，最初反而在实践生存中找到了妙用。

参考文献：

[1]欧几里得著, 兰纪正, 朱恩宽. 欧几里得几多原本[M]. 陕西封建武艺出书社, 2003

出品：科普中国

作者：饭堂科普
监制：中国封建院盘算机网络信息中央

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泉源：中国科普博览

编纂：Paarthurnax