数学中的无量大和无量小毕竟是什么？

自数学提高以来，无量大就不休困扰着人类。我们必需熟悉到，无量大不是一个具体的数，而是一个想法，它只存在于笼统中。

无量大很奇异

无量大不克不及是一个具体的数，好比说是x，我们可以依据加法的逻辑，x加一，就创造了一个新的无量数。之后我们还可以再加一，天生一个更大无量数。实践上，我们可以无量大加上无量大，创造出一切无量的无量，然后我们可以再加上一，循环往复。

无量大的不和被称为无量小，它的实质也相反奇异。与整数不同的是，实数不是安稳的，它们的崩溃实质使我们可以在随意两个数之间找到并创造多数个数。

?一个数可以被多次组合，多次支解。在0和1之间约莫有100个数，从0.01到0.99之间乃至是几百万个，只必要在小数点后加0，不休支解这个数，就会产生很多新的数。因此，固然0.00000000000000001 看起来很小，但可以把它除以10，从而创建一个新的无量小的0.000000000000000001。

因此，就像无量大一样，无量小只存在于笼统中，但它的不确定实质不仅对数学家来说好坏常令人不安的，对物理学家来说也是如此。

无量小的偏差

数学是我们用来表达物理头脑的言语，以是在我们对实际实质的熟悉中，数学上的不一律意味着物理上的不一律。这个不一律是由于我们不确定无量小的值，无量小的值不休被用来推导很多紧张的公式。内幕上，数学的一个分支都创建在无量小的基本上，假如没有它，物理学的提高就会很缓慢。

举个例子，圆的面积公式。开普勒经过将一个圆分红多个三角形来盘算它的面积。因此，圆的面积就是每个三角形的面积之和。一个圆可以被分红有两个直径的四个三角形，但是，这些三角形的边并不克不及准确地近似曲线（扫除了一些空间），以是盘算的面积是错误的。

为了变小这个偏差，我们可以画出更多的直径来创造更多的短边三角形。固然偏差以这种办法变小了，但仍旧不为零。因此，我们进一步将圆分红越来越多的三角形，直到没有空间被扫除在外。但是，为了完全消弭这个错误，我们必需将它区分为无穷多个三角形。由于一条直线可以被表明为一个大圆的一局部，我们可以说，这个圆是由无穷的线构成的，这是由无穷三角形无量小的底边来迫近的。

人们约莫会注意到，三角形的序列让人想起了中国扇子。一切三角形都面积相称，我们可以经过疏散或拉伸这个面积来把扇子变成一个大直角三角形。它们的周长改动了，但是整个面积仍旧是一样的。这个直角三角形的顶端是圆的圆心，它的高度是扇形的长度，即圆的半径，底边是圆的周长。面积是1/2乘以底乘以高，也就是1/2乘以r乘以2πr ，即是πr^2。这是准确的答案，但后果仍旧是错误的。这些底边必需真正是无穷小的，以是即使开普勒画了十分十分小的三角形，我们晓得他还可以画得更多。当他中止画三角形的时分，他就留下了空间，固然真的是极小的空间，但仍旧不是零。曲线没有完全近似，圆的面积盘算是有点错误的。固然这约莫会让数学家感受不惬意，但大大多人忽略了这些差别。

由莱布尼茨和牛顿独立创造或发觉的微积分，也是创建在无量小的基本上的。这条数学分支是关于曲线，关于厘革的。比如，当我们对一个函数做积分运算时，我们实践上是盘算它所画曲线下的面积。但是，就像盘算一个圆的面积一样，我们经过近似无量小的矩形曲线来盘算它。矩形越细，偏差就越小。

一个矩形的面积是它长度，即曲线上的谁人点在y轴上的值乘以它的宽度，即我们称之为dx的无量小单位。我们盘算每个矩形的面积并对它们求和来确定曲线下的面积。这在物理上很有效，比如，一个物体速率曲线下的面积给出了位移值，但是后果不应该是错误的？就像圆的面积一样？

微积分显现后，这个难以根除、无法处理的成绩困扰了数学家们两个世纪，直到“极限”的看法被改良。在牛顿和莱布尼茨的研讨中，极限是相对的，但在19世纪早前，它们被修正和重新界说。这些新看法在数学上是严谨和一律的。固然极限使得数学家终极挣脱无量小，但我们还没有处理的是无量大。